Corridas Automobilísticas e Matemática

Os carros de corrida se diferem dos carros de passeio, em razão de algumas características, como alta velocidade, altura em relação ao solo, potência dos motores, consumo de combustível, aros das rodas e peças auxiliares, como os aerofólios dianteiro e traseiro. Algumas categorias privilegiam a estrutura do carro de passeio, ocasionando mudanças somente na parte da suspensão, motor, câmbios, rodas e pneus.
No caso de um carro de fórmula 1, o projeto é totalmente voltado para a inovação tecnológica, pois eles são construídos no intuito de desempenhar altas velocidades. Em uma viagem, um carro de passeio desenvolve uma velocidade média em torno de 80 a 100 km/h, já um fórmula 1, desenvolve, dependendo do circuito, velocidade média entre 165km/h a 240km/h.
A velocidade de um fórmula 1, ao final de uma reta longa, pode chegar bem próximo de 370 km/h. Esses carros conseguem chegar a altas velocidades em razão de sua aerodinâmica projetada para tal finalidade.

Entre os diversos componentes responsáveis pela aerodinâmica de um fórmula 1, como o difusor, as placas externas, os defletores laterais e o assoalho, destacamos os aerofólios dianteiro e traseiro como os responsáveis por “segurarem” o carro na pista. Eles possuem a mesma função da asa de um avião, a única diferença é que eles trabalham de forma inversa. A asa de um avião tem a função de dar sustentabilidade e a de um fórmula 1, de criar uma força vertical denominada descendente (downforce), empurrando o carro no sentido do solo.
Os engenheiros, com a ajuda do piloto, buscam o melhor ângulo de inclinação das asas dianteira e traseira a fim de se obter o melhor equilíbrio entre a força descendente e a resistência do ar. Nessa regulagem, os mecânicos utilizam as unidades de medidas de ângulos: grau, minutos e segundos.

As altas velocidades na reta necessitam de menos downforce, isto é, em virtude de o carro estar em linha reta, a força descendente pode ser menor, possibilitando ao carro atingir altas velocidades. Mas nos momentos de realizar uma curva, essa força é utilizada para manter o carro na trajetória correta, sem que ele saia do traçado. Os aerofólios também diminuem a turbulência ocasionada pelo vento contrário que atinge o carro em movimento. A regulagem das asas varia de acordo com a pista, tipo de pilotagem, classe de pneus, condições climáticas, entre outras situações. Por isso, é de extrema importância que os engenheiros, mecânicos e piloto encontrem o acerto ideal para a conquista de resultados satisfatórios.

Velocidade da Luz x Velocidade do Som

Em períodos de festa junina os fogos de artifícios são muito utilizados pelos foliões, que comemoram suas devoções junto aos estrondos e luminosidade dos “foguetes”. O estouro do foguete produz uma luz e um som, se estamos a certa distância do local da festa conseguimos ver a luz e depois escutamos som do “foguete”. Em uma tempestade, antes de ouvirmos o barulho do trovão vemos o clarão do relâmpago. Por que vemos primeiro a luz e depois ouvimos o som? Isso acontece porque a velocidade da luz é muito superior à velocidade do som. Temos que a velocidade da luz é de aproximadamente 300.000 Km/s e a velocidade do som aproximadamente 340 m/s (1224 Km/h). O barulho do trovão é uma onda sonora produzida pelo movimento das descargas elétricas na atmosfera, que pode acontecer de três maneiras:  Entre nuvem e solo;  Entre solo e nuvem;  Entre nuvens. Um cálculo simples para sabermos o local aproximado das descargas elétricas pode ser realizado da seguinte forma: Marque o tempo entre a luminosidade do raio e o som do trovão. Vamos supor que levaram 3 segundos entre a descarga elétrica e o trovão. Multiplique o tempo pela velocidade do som: 3 x 340 = 1020. Podemos constatar que a interação das cargas elétricas ocorreu a uma distância de 1020 metros do observador. Aplicação Um grupo de soldados do Exército está acampado em uma reserva ecológica. O Sargento do grupo irá realizar o seguinte treinamento: utilizando um rádio amador deverá contactar outra equipe a vários metros de distância, ordenando que um foguete seja lançado para cima. O tempo em que transcorreu entre a luz e o som foram de 6 segundos. A equipe do Sargento deverá se orientar pelo foguete e determinar a distância aproximada do outro grupo. Como eles deverão fazer isto? Resolução: Partindo da idéia da velocidade do som, eles poderão marcar o tempo entre a luz do foguete e o som, que foi de 6 segundos, multiplicando o tempo pela velocidade do som. 6 x 340 = 2040 metros A outra equipe está a uma distância de 2040 metros.

A Presença da Matemática na Astronomia

Estudos feitos por Johannes Kepler (1571 – 1630), baseados na teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico, que dizia que o sol era o centro do Universo e que todos os planetas giram em torno dele, foi decididamente introduzida após Kepler pesquisar e comprovar realmente que os planetas giram em torno do sol, descrevendo uma forma elíptica. O sol sempre estará em um dos focos da elipse.

Na elipse, a excentricidade é que determina a forma mais ou menos achatada da elipse, os valores variam de 0 a 1, quanto mais próximo de 1 mais achatada é a elipse.
A excentricidade é calculada usando a seguinte expressão:

e = 2c / 2a = c /a

Galileu: Da Ciência à Santa Inquisição

O grande físico e astrônomo italiano, Galileu Galilei, nasceu na cidade de Pisa em 15 de fevereiro de 1564, filho de Vicenzo Galilei e Julia Ammanati di Pescia.
Seu pai, embora pertencente da nobreza, era pobre, mas de cultura respeitada e com um espírito contestador das ideias vigentes; desejava uma sólida posição para seu filho que, aos 17 anos, foi encaminhado para o estudo de medicina, por ser uma profissão lucrativa. Porém, a carreira médica não foi muito atraente para Galileu e seu espírito irrequieto fez com que se interessasse por outros tipos de problemas.

Galileu ainda cursava o segundo ano do curso de medicina – que jamais concluiu, por achar desinteressante – quando descobriu sua vocação para a matemática e as ciências naturais. Conta-se que, certa vez, observando despreocupadamente as oscilações de um lustre da catedral de Pisa, Galileu interessou-se em medir o tempo de cada oscilação, comparando-o com o número de batidas de seu próprio pulso.
Surpreso, verificou que, embora as oscilações se tornassem cada vez menores, o tempo de cada oscilação permanecia sempre o mesmo. Repetindo a experiência em sua casa, utilizando um pêndulo feito com uma pedra amarrada a um fio, este resultado foi confirmado, verificando que o tempo de uma oscilação dependia do comprimento do fio. Com essa descoberta ele inventou o pulsillogium, uma espécie de relógio utilizado para medir a pulsação. Esta seria sua última contribuição para a medicina.
O encontro de sua verdadeira vocação científica o fez abandonar a universidade contra a vontade de seu pai, e dedicou-se por conta própria aos novos estudos. Em 1585, Galilei foi para Florença, onde manteve contato com os intelectuais que frequentavam a casa de seu pai, o que enriqueceu bastante sua formação filosófica e literária.
Voltado agora para o estudo do pêndulo, Galileu descobriu que, independente do peso do corpo suspenso na extremidade de um fio, o tempo de oscilação é o mesmo, tanto para um corpo leve quanto para um corpo pesado.
Esta descoberta o fez concluir que duas pedras de tamanhos e pesos diferentes levariam o mesmo tempo para cair, isto é, para se deslocar da posição mais alta até a posição mais baixa de uma mesma trajetória. Descobriu então que o movimento pendular e a queda livre são provocados pela mesma causa (gravidade).
Além de seus trabalhos no campo da mecânica, Galileu contribuiu para o desenvolvimento da Astronomia. Em virtude de sua grande habilidade experimental, ele construiu o primeiro telescópio para o uso em observações astronômicas.
Suas observações o levaram a grandes descobertas que contrariavam as crenças filosóficas e religiosas da época, as quais eram baseadas nos ensinamentos de Aristóteles.
Galileu descobriu que o planeta Vênus apresenta fases, como as da lua, e esta observação o levou a concluir que o planeta gira em torno do Sol, como afirmava o astrônomo Nicolau Copérnico em sua teoria heliocêntrica.
Com isso, ele passou a defender e divulgar a teoria de Copérnico, de que a Terra, assim como os demais planetas, se move ao redor do Sol. Estas ideias foram apresentadas em sua obra Diálogos sobre os Dois Grandes Sistemas do Mundo, publicado em 1632.
A publicação dessa obra foi condenada pela Igreja. Em 1633, a Santa Inquisição prendeu e julgou Galileu por heresia.
Para evitar que fosse queimado vivo, Galileu Galilei se viu obrigado a renegar suas ideias através de uma confissão, lida em voz alta perante o Santo Conselho da Igreja.

“Eu, Galileu, filho do falecido Vincenzo Galilei, florentino, de setenta anos de idade, intimado pessoalmente à presença deste tribunal e ajoelhado diante de vós, Eminentíssimos e Reverendíssimos Senhores Cardeais Inquisidores-Gerais contra a gravidade herética em toda a comunidade cristã, tendo diante dos olhos e tocando com as mãos os Santos Evangelhos, juro que sempre acreditei que acredito, e, mercê de Deus, acreditarei no futuro, em tudo quanto é defendido, pregado e ensinado pela Santa Igreja Católica e Apostólica. Mas, considerando que (...) escrevi e imprimi um livro no qual discuto a nova doutrina (o heliocentrismo) já condenada e aduzo argumentos de grande força em seu favor, sem apresentar nenhuma solução para eles, fui pelo Santo Oficio acusado de veementemente suspeito de heresia, isto é, de haver sustentado e acreditado que o Sol está no centro do mundo e imóvel, e que a Terra não está no centro, mas se move; desejando eliminar do espírito de Vossas Eminências e de todos os cristãos fiéis essa veemente suspeita concebida mui justamente contra mim, com sinceridade e fé verdadeira, abjuro, amaldiçoo e detesto os citados erros e heresias, e em geral qualquer outro erro, heresia e seita contrários à Santa Igreja, e juro que no futuro nunca mais direi nem afirmarei, verbalmente nem por escrito, nada que proporcione motivo para tal suspeita a meu respeito."

Ainda assim, ele foi condenado e obrigado a permanecer em prisão domiciliar pelo resto de sua vida.
Conta-se que após o veredicto, Galileu proferiu a seguinte frase: “eppur se muove” – “e, no entanto, ela se move”.
Completamente cego, Galileu morreu em sua casa, próxima a Florença, no dia 8 de janeiro de 1642.

Ano internacional da Astronomia

O surgimento da ciência se confunde com o surgimento das religiões, onde o grande propósito é o de responder a principal dúvida da humanidade: Qual a origem do Universo?

Ainda na Antiguidade o homem começou a observar os fenômenos da natureza e associá-los aos corpos celestes. Descobriu assim qual era a melhor época para o plantio, quantos dias tem um ano, além de tentar prever o futuro. Alguns registros astronômicos datam de 3000 a.C.

Por volta de 700 a.C, os chineses criaram um calendário com 365 dias, e apresentaram informações sobre cometas, meteoros, meteoritos e estrelas.
Porém, foi na Grécia Antiga que a ciência teve um grande salto.

Tales de Mileto associou a astronomia aos seus conhecimentos em geometria, por volta do século VI a.C..
Aristóteles foi o primeiro a dar explicações sobre os eclipses e sobre o movimento dos corpos celestes. Afirmou ainda que a Terra era uma esfera e que o universo também era esférico.
Mais tarde, Aristarco de Samos (388-315 a.C), propôs o primeiro modelo heliocêntrico, afirmando que a Terra se movia ao redor do Sol.
A idéia do heliocentrismo só voltou a ser discutida em 1453, da era cristã, por Nicolau Copérnico. Ele foi o primeiro a afirmar que a Terra era um, entre seis planetas que giravam em torno do Sol, em órbitas circulares, assim como foi o primeiro a medir a distância entre os planetas e o Sol, através da referência Terra-Sol.
Ainda no século XVI, surgiu outro grande nome da astronomia, Tycho Brahe (1546-1601) que, através de observações com instrumentos astronômicos, construídos por ele mesmo, reafirmou o heliocentrismo. Tycho foi o último astrônomo observacional antes da criação do telescópio.

No ano de 1609, Galileu Galilei (1564-1642) usou uma luneta, construída por ele mesmo, para fazer observações astronômicas, e através dessas observações mostrou evidências de que a Terra girava em torno do Sol.

O ano de 1609 foi o grande marco da astronomia moderna. A utilização do telescópio, para fins astronômicos, inspirou cientistas como Johanes Kepler, que, através de cálculos matemáticos, reformou radicalmente os modelos de Galileu e de Copérnico.

Isaac Newton estabeleceu a lei da Gravitação Universal, que explicava por que os corpos, na superfície da Terra, caiam e porque a Lua se movia ao redor da Terra.
Em 1668, Newton construiu o primeiro telescópio refletor, com um espelho esférico no lugar de uma lente, como era usado no telescópio construído por Galileu.

O ano de 2009 comemora os 400 anos das observações feitas por Galileu, com o primeiro telescópio astronômico. Batizado como o Ano Internacional da Astronomia, 2009 será um ano de grandes eventos voltados para a história dessa ciência que tanto contribuiu e contribui para a evolução tecnológica que estamos vivendo.
O Ano Internacional da Astronomia vem com o propósito de informar e integrar a sociedade com a ciência através de vários eventos em todo o mundo.

Newton e a Maçã

É contada como fábula a famosa estória em que Isaac Newton teria levado uma maçã na cabeça e, ato contínuo, teria tido a idéia da teoria da gravitação. A verdade é que a tal maçã existiu.
Já havia um certo tempo que as ditas "leis de Kepler", este um alemão contemporâneo de Newton, incomodavam o jovem gênio inglês pois, sendo empíricas, demandavam uma explicação cósmica, isto é, era necessário criar uma nova teoria que desse conta do observado por Kepler e seu mestre Tycho Brache em 50 anos de trabalho. Tycho Brahe, astrônomo e astrólogo real, na corte do rei da Dinamarca, era um sujeito abnegado. Não é preciso recordar que à sua época, segunda metade do século XVI, o debate era acirrado a respeito da natureza do universo.

Em um monumental trabalho de cálculo, em 800 folhas, usando as observações do mestre Tycho Brahe, Johann Kepler publicou, em 1609, o enunciado de duas das suas três leis. São esses os enunciados:

1. Todo planeta movimenta-se em torno do sol em uma órbita planar e elíptica onde o sol encontra-se num dos focos;

2. A relação entre o quadrado do período orbital e o cubo do eixo maior da órbita é a mesma para todos os planetas.

Dez anos mais tarde, ele enuncia a última lei, mais complexa e que, certamente, lhe exigiu mais esforço:

3.A área definida pelo raio vetor ligando o centro do sol ao planeta é constante no tempo.

Ao conhecer o enunciado das leis de Kepler, Newton sabia que era necessário "inventar" uma ou mais leis naturais, correlacionando as leis cinemáticas de Kepler com "causas" originárias em leis "fundamentais".
Será que as causas do movimento dos planetas podem ser encontradas em leis que governam os fatos observados em terra? Em essência, essa era a questão de Newton. Talvez não tenha sido essa a sua linha de raciocínio, mas em função de como ele descreveu suas descobertas dá a entender que as coisas funcionaram, pelo menos intuitivamente, perto do que descrevi. Essa era, pois, a questão que Newton se colocava na época em que ele estava lendo tranqüilamente em seu jardim, quando, diante dele, uma maçã despencou de uma macieira e encontrou o chão desfazendo-se.
Nesse momento Newton iniciou uma linha de raciocínio que iria mudar o mundo. Newton se perguntou: "seria a força que faz a maçã cair a mesma que mantém a lua gravitando em torno da terra"? Para elaborar esta pergunta Newton já tinha enunciado, para si, as leis de Newton para a mecânica. Muito embora um dos temas tratados nessas leis não era novidade, caso da chamada lei da inércia, que já havia sido enunciada por Galileu em forma de princípio: 1) Todo corpo tende a manter-se em repouso ou com velocidade constante a menos que uma ação externa lhe seja aplicada, mudando seu estado cinemático; as duas outras leis traziam novidade: 2) A toda ação corresponde ao aparecimento de uma reação com igual intensidade e em sentido contrário; e 3) a aceleração instantânea de um corpo é proporcional ao total das forças aplicadas nele onde a constante de proporcionalidade é chamada massa. Newton acrescenta, mais tarde, que "massa é a medida da quantidade de matéria de um corpo" para explicar a essência dessa constante de proporcionalidade. Vindo de um gênio como ele, não é de se admirar que tal definição se mostrou fundamental nas pesquisas posteriores, não somente da física, como da química, também. Afinal, a famosa expressão de Lavoisier: "nada se cria, nada se perde: tudo se transforma" é uma variante dessa frase de Newton. É de se esperar que a matéria sofra transformação de aspecto, mas não de essência. O conceito de força também foi enunciado por Newton. É claro que a compreensão intuitiva de tal conceito já existia desde o início da humanidade. E não precisou explicar muito: "força é um conceito primitivo sendo tudo aquilo capaz de modificar o estado das coisas".
E Newton imaginou: "Digamos que eu me coloque no polo norte e arremesse uma pedra para frente. Ela deverá cair, sob a ação da gravidade, alguns metros adiante. Se eu arremessar a pedra com um pouco mais de força, ela terminará por cair um pouco mais longe. Se eu der uma força suficiente, ela cairá na altura do equador, e com mais força, ela cai no trópico de capricórnio e finalmente ela, com a força necessária, terminará por cair exatamente no polo sul"! A ilustração abaixo à esquerda mostra os diferentes casos da experiência imaginada por Newton. E, eis que Newton imagina se a pedra é atirada com um pouquinho a mais da força necessária para atingir o polo sul. Pois bem, ele chega à conclusão, correta, que a pedra atravessará por cima do polo sul, viajará pelo outro lado do mundo e terminará por chegar ao mesmo ponto onde a mão de Newton largou a pedra, ao atirá-la. Bem entendido, tudo não passa de imaginação, mesmo porque o aspecto franzino de Newton não lhe permitia sonhar com as forças necessárias para a execução de suas experiências. Nem hoje em dia essa experiência é realizável pois o atrito que a pedra teria com o ar, em seu movimento, faria com que essa fosse destruida ao reingressar na atmosfera, depois de ganhar a altura necessária para, eventualmente, atingir seu alvo em terra. Contudo, do ponto de vista teórico não havia nada a questionar. Em outras palavras, em seu último lançamento, Newton teria colocado a sua pedra em órbita, coisa que acontece exatamente com a lua! Sua conclusão tornou óbvia a coincidência da origem das forças que fazem a "maçã cair" e a lua orbitar em torno da terra. O que difere os dois fenômenos é que a lua possui uma velocidade transversal que impede que ela atinja a terra, quando, em seu movimento, ela atingir a altura com que ela se chocaria com a sua superfície. Na ilustração à direita vemos o movimento da lua em sua órbita e como é feito que ela nunca atinge a terra.


Pois é, das três leis de Kepler, enunciadas acima, Newton, após muito calcular, concluiu sua lei da gravitação na forma que todos conhecemos:

ou seja, a força de atração entre dois corpos é proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Para chegar a essa conclusão, Newton teve que "inventar" alguns fundamentos do cálculo, como a noção de limite e o cálculo diferencial e integral.

Seu trabalho não foi divulgado de imediato. Newton tinha medo que a comunidade reagisse com escárnio a tantos conceitos novos. Foi o astrônomo Edmond Halley, seu amigo, que insistiu para que ele publicasse o seu Principia Mathematica". Apresentando-se como "boi de piranha", Halley fez a primeira comunicação das descobertas de Newton à Royal Society em 1684, dezoito anos depois de terem sido feitas, argumentando ser essa obra "a de maior conteúdo revolucionário que ele conheceu". Diante da recepção francamente favorável, Newton publicou seu trabalho para a posteridade em 1685.

Halley usou as teorias de Newton para estudar o movimento do cometa de 1606, identificar suas passagens anteriores e prever sua próxima apararição. Embora não tenha acertado exatamente a data da passagem (não foram consideradas as perturbações devido aos grandes planetas), essa foi a primeira confirmação observacional da teoria da gravitação de Newton firmando-se como a primeira lei universal baseada exclusivamente em fatos empíricos!

Fica a questão de por que as ciências, de maneira geral, encontraram terreno tão fértil em solo inglês, nesse período que se inicia no século XVII. Talvez seja o prenúncio do extraordinário desenvolvimento industrial que se seguiu nos séculos seguintes? Talvez tenha sida a reforma protestante em curso em toda a Europa? Então por que o resto da Europa não seguiu seus passos? Pode ser, também - e aí está um ponto que dá singularidade à Inglaterra –, a intempestiva declaração de indepêndencia da Igreja Anglicana do jugo Romano promovida por Henrique VIII. Essa indepêndencia possibilitou à Inglaterra receber elites judaicas foragidas da inquisição, podendo se instalar livremente em seu território² - um aporte de material humano não desprezível. Talvez a união de tudo isso aliada a existência de Shakespeare, que deu à língua inglesa uma estrutura cujo poder se faz sentir ainda hoje, produziram um amálgama feliz de elementos que fez da Inglaterra o maior império da era moderna e deixando filhote para ocupar seu lugar.

Binômio de Newton Aplicado Na Probabilidade

A importância de estar se aplicando os conceitos matemáticos na vida real,
visando tornar o ensino mais atraente e significativo, traz a tona a discussão de se ligar temas estritamente teóricos com a prática e aplicação.
O docente, enquanto mediador do aprendizado, busca cada vez mais a conexão entre o cotidiano do aluno, a fim de estar se estabelecendo um vinculo atraente e interessante ao educando.
O binômio de Newton aplicado na probabilidade, é um das aplicabilidades desse tópico da matemática, que veremos o quanto pode tornar interessante um assunto basicamente teórico, e de fácil entendimento ao aluno.

A teoria da probabilidade é um campo da Matemática onde se estuda fenômenos aleatórios, que sempre atraiu o interesse das pessoas devido a sua aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento.
Dentre vários conceitos formulados à essa teoria temos o uso do Binômio de
Newton, que dá uma forte contribuição ao tema, demonstrando seu uso de forma descomplicada e usual.
O binômio de Newton, desenvolvido em 1667 por Isaac Newton, daí seu nome, que
trata dos números binomiais em forma de coeficiente de um polinômio regular do tipo (a+b)².
A aplicação do Binômio de Newton na Probabilidade traz a tona a discussão do uso de alguns tópicos da Matemática no cotidiano, mostrando de forma simples e coesa a utilidade prática de técnicas desenvolvidas á séculos por mentes brilhantes que por muitas vezes são repudiadas pela massa por se perder o real sentido e aplicabilidade da mesma.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, “Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo a sua volta; fazer observações de sua realidade em relação aos aspectos quantitativos e qualitativos com usos dos conteúdos matemáticos”, o que explicita o interesse da educação em trazer à sala de aula assuntos pertinentes ao dia a dia do educando, mostrando a utilização prática sem perder o foco do ensino de conteúdos matemáticos, mesclando esse conhecimento à
usualidade na vida do educando.
Incentivando o senso investigativo do aluno, a vontade de aprender, a curiosidade de saber de onde vem tal assunto e onde podemos chegar com ele, de forma que o conteúdo dado em sala de aula se torne interessante e cada vez mais usual.